Είναι τα μαθηματικά ένας τρόπος σκέψης;

Η ανάγνωση του έργου του Alain Badiou, και κυρίως των θεμελιωδών Being & Event και Logic of Worlds απαιτεί γνώσεις από σημαντικές περιοχής των μαθηματικών: Την Θεωρία Συνόλων, Την Θεωρία Κατηγοριών, το έργο του Cantor και του Grothendieck. 

Το ιστολόγιο “BADIOUMATHEMATICS”, με μια σειρά απο σημειώσεις, μεταφράσεις και παραπομπές επιχειρεί να διευκολύνει την κατανόηση αυτού του έργου. Όπως δηλώνει ο διαχειριστής του ιστολογίου: "Η δημοσιοποίηση είναι ελάχιστη αντίδραση στην αίσθηση ότι μονομανείς τεχνοκράτες της φιλοσοφίας και των μαθηματικών ζουν στην «κοσμάρα» τους . Το μοναδικό έργο του Badiou άλλωστε είναι ζωντανή απόδειξη της ζώσας ερευνητικής ανήσυχης διεπιστημονικότητας"

 

Από αυτό το ιστολόγιο αναδημοσιεύουμε δύο κείμενα, ως κίνητρο για να ασχοληθείτε με το θέμα:

Το 1ο είναι ένα μικρό απόσπασμα από το βιβλίο:  Wittgenstein's Antiphilosophy

Η απλή ερώτηση «Είναι τα μαθηματικά ένας τρόπος σκέψης» υπόγεια οργανώνει την διαμάχη μεταξύ φιλοσοφίας και αντιφιλοσοφίας.

Γιατί;

Επειδή εάν οι μαθηματικές αναλογίες σκέπτονται, τότε αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατός ένας λόγος χωρίς την εμπειρία του αντικειμένου, μια υποκειμενική και ρυθμισμένη πρόσβαση στο κατανοητό, ότι το είναι δεν είναι αποκλεισμένο από όλες τις αναλογίες, ότι τελικά η πράξη είναι ίσως μια θεωρητική υπόσταση.

Ο αντιφιλόσοφος τα αρνείται όλα αυτά

Από εκεί και πέρα η γενική γραμμή της αντιφιλοσοφίας είναι ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένας τρόπος σκέψης αλλά ένας υπολογισμός. Μέσω αυτής της «υπολογιστικής» διάστασης ή ως ένας απλός μετασχηματισμός σημείων, αναδύεται το αδιαφοροποίητο πρόταγμα:

Τα μαθηματικά είναι μια παραλλαγή της λογικής.

Ο Wittgenstein το ανακοινώνει μέσω της συνήθους ευθύτητας του : «Τα μαθηματικά είναι λογική μέθοδος»

Το 2ο κείμενο  ένα  απόσπασμα σχετικό με τα Badioumathematics από την σειρά "Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς" από  το "Μάθημα τέταρτο : P Cohen, Forcing, Συμβαν":

Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P.Cohen , εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.

Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.

Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.

Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε τα αρχικά τα μαθηματικά του Cohen με μερικά απλά παραδείγματα.

Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο με διάφορα αντικείμενα .Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου .Και προσπαθείς να καταλάβεις τι αντικείμενο υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν μπορώ να το μάθεις ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου έτσι ώστε , τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν ,και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.

Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είμαι στο δωμάτιο άπειρα αμέτρητα αντικείμενα μεταξύ δε μια καρέκλα και ένα τραπέζι και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.

Ο οποιοδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει

-Υπάρχει μια καρέκλα;

-Υπάρχει ένα τραπέζι;

Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.

Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;

Χμ, δύσκολο.

Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής

Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω , για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;

Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας , αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.

Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε ότι το ζήτημα μας είναι να κριθούμε κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.

Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση , μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση ,μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing (εκβιασμός, παραβίαση )που δημιούργησε ο Cohen και υιοθέτησε ο ΑΒ.

Αν κοιτάξουμε προσεκτικά οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές ,και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.

Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.

Τα μαθηματικά του Cohen με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.

Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις , και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.

Ας ξαναθυμηθούμε με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.

O AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής αναλογία. Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοιστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο ,απρόβλεπτο , μη κατανοητό Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε ,αλλά προσοχή αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.

Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.

Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι , υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ , τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή απλή γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά , μηχανικά προβλέψιμο.

Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση» ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα υπάρχει δεν υπάρχει , σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο άγνωστο απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P.Cohen.

Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.